Essendo il rotore di un vettore V il vettore rot V definito attraverso le differenze delle derivate Dx, Dy, Dz delle componenti Vx, Vy, Vz del vettore V rispetto alle coordinate del suo punto di applicazione
P (x,y,z), le dimensioni fisiche del rotore di V si ottengono dividendo per una lunghezza le dimensioni del vettore V.
Esempi:
Se consideriamo l'equazione di Maxwell rot E = - Dt B, dove E è il campo elettrico non conservativo che nasce dalla variazione temporale (derivata parziale Dt ) del vettore induzione magnetica B, poiché nel S.I. Il campo elettrico si misura in volt/metro (V/m), il rotore di E si misura in volt/metro2, che equivale ad un tesla/secondo (T/s), essendo il tesla l'unità di misura di B, la cui derivata parziale rispetto al tempo, cambiata di segno, è pari al rotore di E.
Se invece consideriamo il moto rotazionale di un fluido, essendo rot v = 2 w, dove v è la velocità
lineare (metri/secondo) e w è la velocità angolare (in radianti/secondo = s-1), rot v ha le dimensioni del rapporto tra una velocità lineare ed una lunghezza , cioè (metro/secondo) / metro = 1/secondo = s-1.
1) Alimentando il campanello in c.a. senza un contatto a molla si ottiene, sì, una magnetizzazione alternata dell'ancoretta collegata al martelletto del campanello, ma con una frequenza pari a quella della c.a. di rete, cioè 50 Hz, che , essendo maggiore di quella necessaria (10 Hz .. 15 Hz) per produrre il caratteristico squillo del campanello, può produrre soltanto una vibrazione, come si verifica nei cosiddetti “cicalini” in c.a., che sono in effetti sprovvisti di contatto a molla.
2) La lampadina alimentata in c.a. a frequenza industriale (a 50 Hz o 60 Hz) si accende con fluttuazioni periodiche di intensità così rapide che il nostro occhio non le può percepire per il fenomeno della persistenza delle immagini sulla retina (circa 0,1 secondi) . Queste fluttuazioni potrebbero essere evidenziate soltanto se si alimentasse la lampadina con una c.a. con frequenza sufficientemente minore di 10 Hz, in modo tale da rendere la durata delle fluttuazioni d'intensità maggiore del tempo di persistenza.
3) I comuni trasformatori funzionanti con c.a. a frequenza industriale si basano sul principio dell'induzione elettromagnetica: la potenza elettrica in c.a. viene trasferita dall'avvolgimento primario, collegato alla rete, a quello secondario, collegato ad un utilizzatore, per effetto del flusso magnetico associato al campo magnetico sinusoidale prodotto dal passaggio della c.a. nel circuito primario. In questo caso, essendo molto piccola la frequenza di 50 Hz rispetto a quelle minime necessarie (da 3 kHz a 30 kHz, onde lunghissime, VLF, Very Low Frequencies) per la generazione e la propagazione a distanza di un campo elettromagnetico, il campo magnetico generato varia lentamente e non è in grado di dare origine, in base alle equazioni di Maxwell, ad un campo elettrico variabile (che a sua volta genererebbe un campo magnetico variabile, e così via), e quindi ad onde elettromagnetiche, ma rimane localizzato in prossimità degli avvolgimenti che lo generano (campo non radiativo).
Pertanto i campi magnetici a frequenza industriale presenti nelle nostre abitazioni rimangono localizzati a brevissima distanza dagli avvolgimenti che li generano.
Infatti, se si calcola la lunghezza d'onda l = c/f, corrispondente alla frequenza f = 50 Hz, si ottiene il valore di 300000 km/s /50 = 6000 km, che è molto maggiore della lunghezza dei cavi di un impianto elettrico (dell'ordine delle decine o centinaia di metri), il che significa che il tempo impiegato dal campo elettromagnetico per percorrere alla velocità della luce una distanza pari alla lunghezza dei circuiti elettrici in corrente alternata (es. 100 metri/3 x 108m/s = 3,33 x 10-7 s = 333 nanosecondi ) è trascurabile rispetto al periodo T = 1/f = 1/50 = 0,02 s della corrente alternata, che pertanto si considera lentamente variabile ai fini della propagazione dell'energia elettromagnetica a distanza.
4) Per la stessa ragione la potenza sviluppata sotto forma di calore (effetto Joule) in un resistore in c.c. ed in c.a. , è la stessa, a parità di intensità (valore efficace) della c.a. , purchè questa abbia frequenza industriale. Ad alta frequenza invece, gran parte della potenza verrebbe irradiata attraverso onde elettromagnetiche, ed il resto verrebbe convertito in calore per effetto Joule, come si verifica in un conduttore risonante di lunghezza multipla della semilunghezza d'onda (antenna).
5) Una corrente continua, generando un campo magnetico con verso ed intensità costanti, non può dare luogo ad onde elettromagnetiche.
1) Facendo l'ipotesi dell'assenza di scivolamento dell'estremità inferiore del bastone, il problema dello studio del moto del bastone si risolve applicando il principio di conservazione dell'energia meccanica totale:
l'energia meccanica totale iniziale è interamente potenziale ed è pari a mg(L/2), essendo L/2 la semilunghezza del bastone [energia potenziale gravitazionale di una massa pari a quella m del bastone, posta alla quota L/2, poichè il bastone è inizialmente in posizione verticale, e concentrata nel suo baricentro (punto medio del bastone)]. Questa energia potenziale, durante il moto del bastone si converte in parte in energia cinetica traslazionale della massa m che cade, Ttr = (1/2) m Vbar2 ed in parte in energia cinetica rotazionale, poichè il bastone è un corpo rigido in rotazione attorno al punto di contatto dell'estremità inferiore, con un momento d'inerzia
Io = Ibar + m(L2/4) = (1/12) mL2 + m (L2/4) = (m/3) L2 (teorema di Huyghens-Steiner dell'asse parallelo, che consente di calcolare Io noto il momento d'inerzia Ibar rispetto al baricentro e la distanza (L/2) tra questo e l'asse di rotazione) : Trot = (1/2) Iw2.
Essendo Vbar (velocità lineare del baricentro, diretta lungo la tangente alla circonferenza di raggio L/2) = w(L/2), si ottiene: mg(L/2) = Ttr + Trot = (1/2) m Vbar2 + (1/2) Iw2 = (1/2) m w2(L2/4) + (1/2)(m/3) L2 w2;
mg(L/2) = (7/24) m L2w2;
w2 = (12/7) g/L.
Pertanto la velocità angolare finale del bastone è w = sqroot[(12/7) g/L] = sqroot [(12/7) 9,81 /1,27] = sqroot (13,241) = 3,638 rad/s , mentre la velocità finale dell'estremità superiore, nell'istante in cui essa tocca il pavimento,è Vfin = L w = 1,27 x 3,638 = 4,62 m/s.
2) Applicando i principi di conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica, si ha:
mvin + MVin = mvfin + M Vfin = mvfin;
(1/2) mvin2 + (1/2) MVin2 = (1/2) mvfin2 + (1/2) MVfin2 .
Risolvendo il sistema si ottiene:
vfin = [(m-M)/(m + M)] vin + 2 M/(m+M) Vin;
Vfin = 2 m/(m+M) vin + [(M-m)/(m+M)] Vin;
vfin = [(1,88 - 4,92)/(1,88 + 4,92)] x 10,3 + 2 x [4,92/(1,88 + 4,92)] x 3,27 = - 4,604 + 4,731 = 0,127 m/s ;
Vfin = 2 x [1,88 /(1,88 + 4,92)] x 10,3 + [(4,92-1,88)/(1,88 + 4,92)] x 3,27 = 5,695 + 1,461 = 7,156 m/s.
Applicando il principio di conservazione dell'energia meccanica totale al sistema costituito dalla massa M e dalla molla, si ha:
(1/2) M Vfin2 = (1/2) k x2; k = 11,2 N/cm = 11,2 N/(0,01 m) = 1120 N/m
x = Vfin sqroot (M/k) = 7,156 sqroot (4,92/1120) = 0,474 m = 47,4 cm.
3) Dai dati si ricava il rapporto w/Vv = k tra la velocità angolare del volano e la velocità del veicolo:
w = 237 g/m = 6,28 x 237 /60 = 24,8 rad/s; Vv = 86,5 X 1000/3600 = 24,027 m/s.
Pertanto si ha: k = 24,8/24,027 = 1,032 (rad/s)/(m/s) = 1,032 rad/m.
Essendo inoltre w = df/dt e Vv = dx/dt, integrando in dt, si deduce la relazione tra l'angolo f di cui ruota il volano e lo spostamento x del veicolo lungo il pendio: f = k x.
In particolare, essendo L = 1500 m la lunghezza del pendio, la corrispondente rotazione del volano è f = k L = 1,032 x 1500 = 1548 radianti.
La quota all'inizio del pendio è h = L x sen 5° = 1500 x 0,08715 = 130,72 m.
Pertanto, calcolato il momento d'inerzia J = (1/2) Md (D/2)2 = (1/2) x (194/9,81) x(1,08/2) 2 = 2,883 kg m2, in base al principio di conservazione dell' energia meccanica totale si ottiene:
Mv g h = (1/2) Mv Vv2 + (1/2) J w2 =
= (1/2) Mv Vv2 + (1/2) J Vv2 k2;
2 Mv g h = (Mv + k2J) Vv2;
Vv (velocità finale del veicolo) = sqroot [2 Mv g h/(Mv + k2J)] = sqroot [(2 x 822 x 9,81 x130,72)/(822 + 1,0322 x 2,883)] = 50,54 m/s.
La velocità angolare finale del volano è w = k x Vv = 1,032 x 50,54 = 52,157 rad/s.
Applicando al volano la formula del moto angolare con accelerazione angolare a costante e tenendo conto della rotazione totale fdel volano (1548 radianti) lungo il pendio, si ottengono i valori finali dell'accelerazione angolare a e della potenza istantanea P = momento torcente x velocità angolare = (momento d'inerzia x accelerazione angolare) x velocità angolare = J aw:
w2 = 2af.
Pertanto l'accelerazione angolare costante è a = w2/ (2 f)= k2Vv2/ (2 f) = 1,0322 x 50,54 2/ (2 x 1548) = 0,878 rad/sec2.
La potenza finale assorbita dal volano è P = J aw = 2,883 x 0,878 x 52,157 = 132 W.
4) Applicando il principio di conservazione dell'energia meccanica al cilindro di massa M e raggio R= 10,4 cm =0,104 m, che rotola lungo il tetto per un tratto L = 6,12 m, si ha:
Mg h = (1/2) MV2 + (1/2) J w2.
Essendo V = wR , J =(1/2)MR2 e h = L sen 27° = 6,12 x 0,454 = 2,778 m, si ottiene:
Mg h = (1/2) M w2R2 + (1/2) (1/2)MR2w2 = (3/4) MR2w2 .
Pertanto la velocità angolare finale è w = sqroot [4gh/(3R2)] = (2/R) sqroot (gh/3) = (2/0,104) sqroot (9,81x2,778/3) = 57,95 rad/s, mentre la velocità finale del baricentro del cilindro è V = wR = 57,95 x0,104 = 6,027 m/s,
le cui componenti, rispettivamente orizzontale e verticale, sono:Vx = V cos 27° = 6,027 x 0,891 = 0,558 m/s e
Vy = V sen 27° = 6,027 x 0,454 = 2,736 m/s.
Indicando con H = 5,16 m l'altezza del muro, con x la distanza dal muro, pari a Vx t , e con t = x/Vx il tempo di caduta,si ottiene:
H = Vy t + (1/2)gt2 = Vyx/Vx + (1/2) g (x/Vx)2.
Risolvendo l'equazione in x si ha: gx2 + 2 Vx Vyx - 2 H Vx2 = 0;
x = ( Vx/g) [sqroot ( Vy2 + 2gH) - Vy] = (0,558/9,81) x [sqroot (108,72) - 2,736]= 0,437 m.
Ritenendo che mentre il proiettile attraversa il blocco si possa trascurare ,in prima approssimazione, la deformazione della molla e che quindi questa eserciti una forza elastica trascurabile sul blocco, prima della fuoruscita del proiettile , si può applicare il principio di conservazione della quantità di moto (valido in assenza di forze esterne):
mvi = mvf + MVf, dove m = 5 g è la massa del proiettile, vi e vf sono rispettivamente la velocità iniziale (400 m/s) e la velocità finale di esso, M = 1 kg è la massa del blocco e Vf è la velocità finale di questo.
D'altra parte, uguagliando l'energia cinetica acquisita dal blocco al momento della fuoruscita del proiettile all'energia potenziale elastica della molla, si ottiene: (1/2) MVf2 = (1/2) k x2, essendo x = 5 cm = 5 x 10-2 m lo spostamento del blocco verso destra, che coincide con la deformazione (allungamento o accorciamento a seconda che la molla si trovi a sinistra o a destra del blocco).
Pertanto Vf = sqroot (k/M) x = sqroot (900/1) x 5 x 10-2 = 1,5 m/s.
a) Di conseguenza, dall' equazione che esprime la conservazione della quantità di moto, si ottiene la velocità finale del proiettile: vf = (mvi - M Vf) / m = vi - (M/m) Vf = 400 - (1/5 x 10-3) x 1,5 = 100 m/s .
b) Applicando il principio di conservazione dell'energia, sempre trascurando, in prima approssimazione, la deformazione della molla prima della fuoruscita del proiettile, si ottiene:
(1/2)mvi2 = (1/2) mvf2 + (1/2) MVf2 + Ed, dove Ed è l'energia dissipata nell'urto, e che si converte in calore.
(1/2) x 5 x 10-3 x 400 2 = (1/2)x 5 x 10-3 x 100 2 + (1/2) x1 1,5 2 + Ed;
400 J = 25 J + 1,125 J + Ed;
Ed = (400 -25 - 1,125) J = 373,875 J.
Grazie dei complimenti per il sito e tanti cordiali saluti.
1) Se la distribuzione dell'energia elettrica fosse effettuata mediante corrente continua, la necessità del rispetto delle polarità e quindi dell'impiego di prese e spine polarizzate, dipenderebbe esclusivamente dal tipo di utilizzatore. Infatti, mentre stufette elettriche, scaldabagni, lampade ad incandescenza, forni elettrici (non del tipo a microonde) non richiedono il rispetto delle polarità in quanto una resistenza elettrica dissipa in calore la stessa potenza, indipendentemente dalle polarità della tensione applicata (infatti una resistenza dissipa la stessa potenza se viene alimentata con una corrente alternata di pari intensità efficace, cioè con un' intensità equivalente a quella della corrente assorbita in continua), un motorino elettrico in corrente continua a magneti permanenti o una qualsiasi apparecchiatura elettronica (radio, amplificatore, televisore) progettata per essere alimentata esclusivamente in continua, richiedono il rispetto delle polarità. Infatti, invertendo le polarità, il motorino in continua a magneti permanenti gira in senso inverso, mentre i transistor ed i circuiti integrati dell'apparecchiatura elettronica vengono danneggiati immediatamente ed irreparabilmente.
2) Per comprendere il funzionamento del trasformatore, che funziona soltanto con corrente alternata, bisogna considerare che esso, qualora vengano
trascurate le inevitabili perdite per effetto Joule, per isteresi magnetica e per correnti parassite (di Foucault), il che equivale ad ottenere un rendimento ideale del 100 %, la potenza P1 assorbita dalla rete a c.a. alla tensione V1 con una corrente di intensità efficace I1, è uguale alla potenza a P2 assorbita da un utilizzatore alimentato con la tensione ridotta V2 minore di V1 e con una corrente di intensità efficace I2 maggiore di a I1.
Esempi: Se un trapano elettrico da 440 W (= 220 V x 2A) (si supponga di trascurare, per semplicità, il fattore di potenza , minore dell'unità, di cui bisogna tenere conto nel caso di utilizzatori induttivi , cioè dotati di avvolgimenti generanti campi magnetici alternati), quando è alimentato a 220 V, assorbe una corrente di 2 A, lo stesso trapano, se fosse dotato di un motore avvolto per funzionare con la tensione di 24 V, fornita da un trasformatore di potenza adeguata, assorbirebbe una corrente con intensità pari a (440/24) A = 18,333 A.
In modo analogo, una lampadina ad incandescenza da 1 W, progettata per essere alimentata a 220 V, assorbe una corrente pari a (1/220) A, mentre
una lampadina di pari potenza, progettata per essere alimentata a 12 V mediante un trasformatore, assorbe una corrente pari a (1/12) A, molto maggiore di quella assorbita dalla lampadina alimentata direttamente a 220 V. In altri termini, a parità di potenza assorbita, l'intensità della corrente assorbita da un utilizzatore è inversamente proporzionale alla tensione di alimentazione di normale funzionamento: rimane costante, a parità di wattaggio, il prodotto volt x ampere.
1) Con riferimento al secondo punto della domanda precedente, bisogna precisare che il funzionamento del trapano a 24 V in c.a. si potrebbe ottenere soltanto se gli avvolgimenti del suo motore venissero ricalcolati e rifatti con un numero molto minore di spire di filo di rame di sezione adeguata alla maggiore corrente assorbita (18,333 A). Per realizzare un avvolgimento di un motore o di un trasformatore bisogna tenere conto che il numero N delle spire di area S da avvolgere per il funzionamento con una tensione alternata di valore efficace V e frequenza f, è direttamente proporzionale a V ed inversamente proporzionale al prodotto S f, e dipende altresì dalle caratteristiche magnetiche (induzione magnetica, espressa in tesla o in gauss) del ferro dolce di cui è fatto il circuito magnetico del motore. Inoltre bisogna considerare che può essere ottenuta la stessa coppia motrice con una tensione minore avvolgendo un minore numero di spire di filo di rame di sezione maggiore, che possa far passare la maggiore corrente assorbita senza bruciarsi.
Ovviamente, nel riavvolgere un motore per una tensione molto minore di quella prevista inizialmente bisognerebbe superare notevoli difficoltà di ordine pratico dovute al maggiore ingombro ed alla minore flessibilità del filo di notevole sezione, il che renderebbe poco conveniente rifare l'avvolgimento. Un discorso analogo vale per una lampadina. Basta osservare lo spesso filamento di tungsteno di una lampada ad incandescenza da 12 V, 40 W, per auto, ed il sottilissimo filamento di tungsteno di una lampada da 40 W funzionante a 220 V. A parità di potenza assorbita, il filamento della lampada a 12 V deve essere molto più robusto e molto più corto di quello della lampada funzionante a 220 V, per poter sopportare una corrente maggiore, sostenuta da una minore tensione di alimentazione, data la bassissima resistenza ohmica del filamento a 12 V.
2) Premesso che lunghezza della scintilla tra le sferette (poli) di un rocchetto di Ruhmkorff (rocchetto d'induzione) cresce al crescere del rapporto tra il numero delle spire dell'avvolgimento secondario (realizzato con filo sottilissimo) e quello delle spire dell'avvolgimento primario, alimentato dalla batteria e realizzato con filo di notevole sezione, bisogna tenere presente che allo scoccare della scintilla tra le sferette, si generano delle correnti oscillanti la cui frequenza è inversamente proporzionale, per la formula di Lord Kelvin, alla radice quadrata del prodotto LC tra il coefficiente di autoinduzione L (rapporto tra il flusso magnetico generato e l'intensità di corrente che lo genera) dello spinterometro (costituito dalle asticciole metalliche dotate di sferette) e la capacità elettrica C = Q/V (rapporto tra carica elettrica e tensione) dello stesso . Poichè la capacità C cresce al decrescere della distanza tra le sferette e la frequenza diminuisce al crescere della capacità, si verifica che con distanze minori si ottengono frequenze minori . Bastano comunque alcuni centimetri di distanza per ottenere frequenze intorno al centinaio di MHz. Difatti le onde elettromagnetiche generate dagli oscillatori di Hertz, Righi e Marconi funzionavano a frequenze di alcune centinaia di MHz.
Per spiegare come l'oscillatore con spinterometro a sferette possa generare correnti oscillanti ad alta frequenza, bisogna considerare quanto segue:
La carica elettrica Q = CV immagazzinata nel condensatore C costituito dalle asticciole e dalle sferette per effetto dell'alta tensione V, allo scoccare della scintilla (percorso conduttore costituito dai gas ionizzati) dà origine ad una corrente di scarica attraverso la scintilla. Questa corrente transitoria,di intensità I decrescente al progredire della scarica di C, genera un campo magnetico variabile che a sua volta, in base alla legge d'induzione elettromagnetica di Faraday-Neumann-Lenz, dà origine ad una tensione transitoria di autoinduzione (tensione indotta dal circuito con coefficiente di autoinduzione L su se stesso) che, opponendosi per la legge di Lenz, alla causa che l'ha generata, ricarica C con polarità opposte a quelle iniziali. Pertanto, all'annullarsi della corrente di scarica relativa al primo semiperiodo della corrente oscillante, il condensatore C, ricomincia a scaricarsi , sempre attraverso i gas ionizzati della scintilla, generando nel secondo semiperiodo una corrente transitoria di verso contrario a quella del primo semiperiodo, la quale genera a sua volta un campo magnetico di verso contrario a quello del primo semiperiodo, e quindi una tensione autoindotta con polarità contrarie, che ricarica il condensatore C con polarità uguali a quelle del primo semiperiodo.
Trascorso il primo periodo, C ricomincia a scaricarsi attraverso la scintilla, la cui durata è molto maggiore del periodo delle oscillazioni, dando luogo ad un'ulteriore corrente oscillante di intensità minore a causa della dissipazione dell'energia elettrostatica iniziale in calore,per effetto Joule. Pertanto, durante il passaggio della corrente oscillante ad alta frequenza attraverso la scintilla,
si verifica una periodica conversione dell'energia elettrostatica iniziale (1/2) CV2 accumulata nel condensatore C in energia elettromagnetica (1/2) LI2 accumulata nell'induttanza L, e viceversa, mentre, a causa della potenza I2R dissipata in calore, l'ampiezza della tensione oscillante V e l'intensità della corrente oscillante I decrescono con legge esponenziale, in modo tanto più rapido quanto maggiore è la resistenza ohmica R dello spinterometro e quanto minore è l'induttanza (coefficiente di autoinduzione) L.
Da notare che, trattandosi di un circuito oscillante aperto, i cui campi elettrici e magnetici interessano lo spazio circostante, le oscillazioni elettriche e magnetiche ad alta frequenza si propagano nello spazio con velocità c = 300000 km/s sotto forma di onde elettromagnetiche che trasportano energia e quantità di moto. La propagazione è tanto più efficace quanto maggiore è il valore della frequenza caratteristica dell'oscillatore:
f = 1/[2p sqroot (LC)].
Inoltre la propagazione a distanza viene notevolmente
potenziata collegando, come fece Marconi (ed in questo consiste la genialità della sua invenzione) , un' asticciola all'antenna e l'altra alla Terra. L'antenna è infatti un conduttore irradiante che aumenta notevolmente l'estensione del campo elettromagnetico generato dall'oscillatore, interessando tutto lo spazio circostante e costituendo assieme al conduttore di terra un circuito oscillante aperto che intensifica la propagazione a distanza.
Il fenomeno delle oscillazioni smorzate di natura elettromagnetica è fisicamente analogo, ed obbedisce ad equazioni differenziali di tipo analogo, a quello delle oscillazioni meccaniche di un sistema costituito da una massa M solidale ad una molla con costante elastica k ed immersa in un liquido viscoso (olio, glicerina). Si pensi , per esempio,agli ammortizzatori di un veicolo: f = 1/[2p sqroot (M/k)].
Per quanto riguarda l'ultima domanda, bisogna considerare che, pur essendo il rocchetto di Ruhmkorff un particolare trasformatore, esso non è in grado di generare una corrente alternata sinusoidale come un comune trasformatore, poichè l'avvolgimento primario è alimentato da una batteria la cui corrente viene interrotta bruscamente ad intervalli regolari e con legge non sinusoidale, il che determinerebbe nell'avvolgimento secondario chiuso in cortocircuito la circolazione di brevi correnti transitorie di tipo impulsivo e non sinusoidale.
1) I motorini a c.a. dei frullatori, delle lucidatrici ecc..,(motori molto rumorosi) sono indicati come motori universali, in quanto possono funzionare sia in c.a. che in c.c., diversamente dei motori a c.a. ad induzione (motori asincroni) (come quelli dei ventilatori, delle lavatrici, dei condizionatori e dei frigoriferi), il cui funzionamento è molto più silenzioso e si basa sul principio del campo magnetico rotante, scoperto da Galileo Ferraris.
I motori universali sono dotati di uno statore (parte fissa che genera il campo magnetico, continuo o alternato, mediante apposite bobine e non mediante magneti permanenti) e di un rotore dotato di un avvolgimento uguale a quello dei motori a corrente continua, che derivano dalla dinamo (macchina elettrica a c.c. reversibile, cioè capace di funzionare come motore se alimentata con c.c) di Antonio Pacinotti.
La loro principale caratteristica è quella di essere dotati di due contatti (spazzole) di carbone di storta che portano la corrente al rotore strisciando su un cilindro (collettore o commutatore) costituito da tante lamelle di rame isolate tra loro e collegate ai terminali delle bobine del rotore. E' importante
considerare che il funzionamento sia in c.a. che in c.c. e la notevole coppia motrice sviluppata dal motore a corrente continua del tipo serie (impiegato tuttora nei locomotori non elettronici), e quindi anche dall'analogo motore universale in c.a., è dovuta al fatto che le bobine dello statore sono collegate in serie con le spazzole che fanno capo all'avvolgimento rotorico.In tal modo, poichè la coppia motrice è direttamente proporzionale al prodotto del flusso magnetico statorico, dell'intensità di corrente I nelle bobine rotoriche e del numero delle spire delle stesse, e poichè a sua volta il flusso magnetico, generato da bobine percorse dalla stessa corrente I (continua o alternata) che passa nelle bobine del rotore, è anch'esso direttamente proporzionale a I (il che non avverrebbe se il flusso magnetico fosse generato da magneti permanenti,che generano un campo magnetico con intensità e verso costanti, come nei motorini dei giocattoli), si ottiene una coppia motrice direttamente proporzionale al quadrato dell'intensità di corrente, quindi sempre nello stesso senso di rotazione, indipendentemente dalle polarità della tensione applicata al motore.
2) E' evidente che una qualsiasi lampadina ad incandescenza si accende indipendentemente dalle polarità. Nelle torce elettriche i contatti sono di tipo “polarizzato”, unicamente per un' esigenza meccanica e non elettrica: la lampadina si accende soltanto se gli elementi sono inseriti in un senso, perchè
altrimenti il polo negativo dell'ultimo elemento, a contatto con il terminale centrale della lampadina, non stabilirebbe il contatto, essendo privo di sporgenze.
1) Per rivelare le onde elettromagnetiche Hertz impiegò il risuonatore ad anello, costituito da un conduttore di rame di grande sezione piegato ad anello
e dotato alle estremità di due sferette. Quando il risuonatore veniva sistemato a breve distanza dall'oscillatore, in modo tale che l'asse di questo fosse parallelo al piano dell'anello, si otteneva la risonanza con le onde elettromagnetiche irradiate dall'oscillatore quando la circonferenza L dell'anello era multipla della semilunghezza d'onda ( L = n l/2, con n = 1,2,3, ...). In tale condizione, soddisfatta quando l'induttanza L e la capacità C associata alle sferette ed al conduttore anulare erano tali da soddisfare la formula di Lord Kelvin per la frequenza di risonanza
(fris = 1/ [2p√(LC)] ), la tensione indotta dall'onda elettromagnetica che investiva il risuonatore era così elevata da far scoccare una serie di scintille tra le sferette . La condizione di risonanza si raggiungeva prevalentemente variando la circonferenza dell'anello in rapporto alla lunghezza d'onda, mentre dipendeva in misura molto minore dalla distanza tra le sferette, che doveva essere comunque molto piccola (regolabile da qualche mm fino a qualche centesimo di mm) per favorire l'innesco della scarica elettrica.
Lo scopo dell'interruzione è quello di rendere osservabile la condizione di risonanza
attraverso la scintilla.
Se l'anello risonante fosse chiuso in cortocircuito, la potenza assorbita dall'onda elettromagnetica si convertirebbe totalmente in calore per l'effetto Joule associato all'elevata corrente ad alta frequenza passante nell'anello. Invece, nel caso dell'anello interrotto, la maggior parte della potenza a radiofrequenza viene dissipata dalle scintille.
2) L'antenna deve essere necessariamente fatta di materiale conduttore. L'esistenza di polimeri conduttori (materiali plastici conduttori) non esclude che si possano realizzare in futuro antenne le cui parti irradianti siano fatte con tali materiali polimerici, purchè dotati di una conducibilità elettrica comparabile con quella dei metalli, altrimenti le perdite di potenza per effetto Joule sarebbero intollerabili.
1) Dal grafico dell'elongazione Dx (t) si rilevano un'elengazione massima
A (ampiezza del moto armonico semplice) = 0,66 m - 0,54 m = 0,12 m, che coincide con il raggio R = 0,12 m del moto circolare uniforme.
Il diametro è pertanto D = 2R = 0,24 m.
L'elongazione è Dx(t) = A cos (wt), essendo massima l'elongazione per t = 0.
2) Si rileva inoltre che il periodo del MCU e dei moti armonici è T = 2,75 s.
3) La velocità angolare del MCU , che coincide con la pulsazione dei moti MAS sugli assi X e Y, è w= 2p/T = 6,28/2,75 = 2,283 rad/s .
4) L'accelerazione centripeta del MCU è ac = w2R = 2,2832 x 0,12 = 0,625 m/s2.
L'accelerazione del MAS è ax(t) = (d2/dt2) Dx(t)= - w2A cos (wt) = - w2 Dx(t).
Per Dx = 0, ax = 0;
Per Dx = A/3, ax = - w2A/3 = - 2,2832 x 0,12/3 =0,2084 m/s2 ;
Per Dx = 2A/3, ax = - w22A/3 = - 2,2832 x 2x0,12/3 =0,4168 m/s2 ;
Per Dx = A, ax = - w2A = - 2,2832 x 0,12 =0,625 m/s2 ;
5) Vx = (d/dt) Dx(t)= - wA sen (wt).
Per wt = 0, Vx = 0;
Per wt = p/2 , Vx = -wA sen p/2 = - 2,283 x 0,12 x 1 = -0,2739 m/s2;
Per wt = 2p/3 , Vx = -wA sen 2p/3 = - 2,283 x 0,12 x 0,866 = - 0,2372 m/s2;
Per wt = 2p , Vx = -wA sen 2p = - 2,283 x 0,12 x 0 = 0;
6) Dx è sfasato in ritardo di 180° rispetto ad ax;
Dx è sfasato in ritardo di 90 rispetto a Vx;
ax è sfasato in anticipo di 90° rispetto a Vx;
7) Lo sfasamento fra il MAS su X è sfasato in anticipo di 90° rispetto a quello su Y;
8) La forza centripeta nel MCU è Fc = m w2R;
La forza agente Fx nel MAS è nulla al centro del moto, essendo ivi nulla l'accelerazione, mentre è massima nei suoi punti morti (x = A e x = -A) ed è sempre diretta verso il centro del moto:
Fx = + / - mw2A.
Anzitutto La ringrazio di cuore per le Sue lusinghiere espressioni di stima nei miei confronti e di apprezzamento per il mio lavoro.
1) Con riferimento alla formula (6), definito il vettore d'onda k = 2p/l, con componenti kx, ky, kz (w = 2pn è invece la pulsazione
dell'onda di probabilità associata alla particella libera ed è legata alla sua energia cinetica E = p2/(2m) dalla relazione E = ћ w), si ha:
V° (- iћV Ψ) = - i ћV2Ψ.
Ma si ha anche: V° (- iћV Ψ)= V ° [-iћ(xDx Ψ + yDy Ψ + zDzΨ )], dove x,y e z sono i versori degli assi x,y,z.
Dx Ψ = Dx exp[i(kx x + ky y + kzz - wt] = i kx exp[i(kx x + ky y + kzz - wt] = i kx Ψ .
Dy Ψ = Dy exp[i(kx x + ky y + kzz - wt] = i ky exp[i(kx x + ky y + kzz - wt] = i ky Ψ .
Dz Ψ = Dz exp[i(kx x + ky y + kzz - wt] = i kz exp[i(kx x + ky y + kzz - wt] = i kz Ψ .
Pertanto si ha: V ° [-iћ(xDx Ψ + yDy Ψ + zDzΨ )] = - iћ V ° [x i kx Ψ + y i ky Ψ + z i kz Ψ ] = -iћ (xDx + yDy+ zDz )°[x i kx Ψ + y i ky Ψ + z i kz Ψ ] = -iћ ( i kx DxΨ + i ky DyΨ + i kz DzΨ) =
= -iћ ( i kx i kxΨ + i ky i kxΨ + i kz i kxΨ) =
= -iћ(- kx2 - ky2- kz2)Ψ = iћk2Ψ.
Infine si ottiene: - i ћV2Ψ = iћk2Ψ;
- ћV2Ψ = ћk2Ψ.
Moltiplicando ambo i membri per ћ/(2m) si ha: [- ћ2/(2m)] V2Ψ = [- ћ2/(2m)]k2Ψ.
Infine, tenendo conto che Dt Ψ = Dt exp[i(kx x + ky y + kzz - wt]= -i wΨ, si ottiene l'equazione di Schroedinger:
[- ћ2/(2m)] V2Ψ= [- ћ2/(2m)]k2Ψ = ћ wΨ= E Ψ= - ћ Dt Ψ/ i = - i ћ Dt Ψ/i 2 = i ћ Dt Ψ.
2) La funzione d'onda in sè non ha significato fisico, perchè è una funzione scalare complessa di x,y,z; t il cui modulo al quadrato |Ψ |2= Ψ*Ψ = P(x,y,z;t) ha invece significato fisico,rappresentando, secondo l'interpretazione di Max Born, la densità di probabilità , da cui si ottiene la densità elettronica (densità di carica elettronica) moltiplicandola per la carica e dell'elettrone.
Per quanto concerne il significato da attribuire al prodotto EΨ(x,y,z;t), bisogna considerare che ha significato fisico il valore medio
Ψ (x,y,z;t) = Σn Cn(1/√V) exp[i(k°r - En t/ћ)] ; Ψ*(x,y,z;t) = Σn Cn*(1/√V) exp[-i(k°r - En t/ћ)].
∫ ∫ ∫V Ψ*(x,y,z;t)( i ћ Dt ) Ψ (x,y,z;t) dxdydz = ∫ ∫ ∫VΣn Cn* (1/√V) exp[-i(k°r - En t/ћ)] ( i ћ Dt ) Σn Cn (1/√V) exp[i(k°r - En t/ћ)]dxdydz= ∫ ∫ ∫VΣn Cn*(1/√V) exp[i(k°r - En t/ћ)]( - i ћ i En/ћ) Σn Cn (1/√V) exp[i(k°r - En t/ћ)]dxdydz = Σn Cn*Cn En.
AugurandoLe Pace e Bene, Le invio tanti tanti cordiali saluti.
1) La figura mostra due tra le più diffuse tecniche di modulazione di un segnale portante sinusoidale Vp = Vmax sen (2pft), dove f = 1/T è la frequenza (da 550 KHz a 1600 KHz per la radiodiffusione AM, frequenze VHF (canali video A,B..H, da 52,5 a 230 MHz) , frequenze UHF (canali video 21..69 da 470 a 861 MHz) e da 88 MHz a 108 MHz per la radiodiffusione FM).
Per ottenere un segnale AM (modulato in ampiezza), bisogna fare interagire opportunamente,mediante un apposito circuito (modulatore AM), il segnale portante ad alta frequenza (l'alta frequenza è necessaria per la propagazione del segnale) con un segnale modulante. L'ampiezza della portante aumenta durante le semionde positive del segnale modulante contenente l'informazione (segnale audio o segnale video) e diminuisce durante le semionde negative, generando il cosìddetto inviluppo di modulazione, cioè un andamento che ripete quello del segnale modulante.
La captazione e successiva amplificazione del segnale AM irradiato dai trasmettitori danno luogo ad un segnale AM amplificato che viene raddrizzato
da un diodo. Passano in tal modo soltanto le semionde positive , la cui ampiezza contiene l'andamento temporale del segnale modulante.In pratica, per rigenereare il segnale audio o il segnale video bisogna eliminare l'alta frequenza residua con un filtro RC passa basso, la cui costante di tempo (prodotto RC in secondi) sia convenientemente maggiore del periodo T della portante. Il condensatore , durante ogni semionda positiva, si carica ad una tensione
pari al valore massimo di essa, per scaricarsi successivamente attraverso il resistore, in un tempo maggiore del periodo T, rigenerando in tal modo, in media, l'andamento del segnale modulante.
2) La modulazione di frequenza (FM) è qualitativamente superiore alla modulazione di ampiezza perchè, mentre nel caso di quest'ultima l'informazione è associata all'ampiezza, il cui valore può essere modificato da qualsiasi disturbo elettromagnetico, nel caso dell' FM, l'informazione è associata alla frequenza che è un parametro inalterabile in presenza di disturbi elettromagnetici, che incidono soltanto sull'ampiezza. La modulazione FM si ottiene
facendo variare , mediante un apposito modulatore di frequenza, la frequenza della portante al ritmo del segnale modulante.
Esempio: Se la portante ha una frequenza di 100 MHz e viene modulata in frequenza da un segnale audio con frequenza di 10 KHz, con un'escursione (deviazione) massima di frequenza di 50 KHz = 0,05 MHz, significa che la frequenza della portante viene fatta variare periodicamente, cioè 10000 volte al secondo, da un minimo di (100 - 0,05) MHz ad un massimo di (100 + 0,05) MHz. Il demodulatore FM del ricevitore rivela queste deviazioni
periodiche della frequenza della portante da 100 MHz (la cui ampiezza rimane invariata), ricostruendo l'andamento del segnale audio (modulante) che le genera interagendo con la portante in fase di trasmissione.
In altri termini, come mostra la figura, il periodo della portante diminuisce (la frequenza aumenta) in coincidenza con le semionde positive del segnale modulante, mentre aumenta (la frequenza diminuisce) durante le semionde negative dello stesso.
Per comprendere la necessità dell'impiego di un raddrizzatore per demodulare (rivelare) un segnale AM (modulato in ampiezza, amplitude modulation), possiamo fare riferimento alla classica radio a galena degli anni '20. Una radio a galena comprendeva essenzialmente una cuffia telefonica, un raddrizzatore a cristallo di galena (PbS - solfuro di piombo) ed un circuito risonante LC, formato da un condensatore variabile e da un'induttanza (bobina) di accordo, collegati ad un sistema di captazione antenna-terra (in condizioni di emergenza poteva fungere da antenna un filo teso tra due pali o un filo collegato addirittura ad una rete da letto, mentre si utilizzava come impianto di terra la rete idrica). La regolazione della capacità del condensatore variabile, effettuata con la manopola di sintonia, consentiva di “centrare” la stazione trasmittente desiderata portando in risonanza il circuito LC, in base alla formula di Thomson (Lord Kelvin), con le onde elettromagnetiche irradiate dall'antenna su una determinata lunghezza d'onda , corrispondente ad una frequenza uguale a quella di risonanza del circuito. La cuffia, costituita da due auricolari simili essenzialmente alla parte ricevente di una cornetta telefonica (microtelefono) e percorsa dalla corrente a bassa frequenza generata dal segnale AM ad alta frequenza raddrizzato dal diodo a galena e filtrato da un condensatore, riproduceva i suoni udibili (con frequenza compresa tra 20 Hz e 20000 Hz). Bisogna tenere presente che, se non si impiegasse il diodo raddrizzatore, la corrente ad alta frequenza (da 550 KHz a 1600 KHz in AM) fornita dal circuito risonante accordato
sulla stessa frequenza della stazione trasmittente, percorrendo le bobine della cuffia non sarebbe anzitutto in grado di fare oscillare le membrane (lamine di ferro) di questa a frequenze così elevate,a causa della notevole inerzia (massa) . In secondo luogo, anche ammettendo che l'inerzia delle membrane possa essere resa piccola quanto si vuole, le vibrazioni prodotte avrebbero una frequenza così elevata (parecchie centinaia di KHz) da non essere percepite dall'orecchio umano. Se invece il segnale AM viene raddrizzato e filtrato, si ottiene una successione di impulsi ad alta frequenza, non con polarità alternativamente positive e negative (segnale alternato),ma tutti positivi o tutti negativi (a questo serve il raddrizzatore) a seconda del verso d'inserimento del diodo, che, avendo ampiezze variabili riproducenti l'andamento del segnale modulante (segnale audio, a bassa frequenza) caricato sulla portante ad alta frequenza, percorrendo le bobine della cuffia le fanno vibrare a frequenze molto minori di quelle del segnale AM irradiato, generando onde sonore.Lo stesso principio vale per un apparecchio radio (a valvole, a transistor o a circuiti integrati). La differenza sta nel fatto che, mentre nella radio a galena, che non aveva bisogno di batterie, le debolissime correnti variabili captate e raddrizzate erano sufficienti a far funzionare la cuffia, in un apparecchio radio si richiede una notevole amplificazione per raggiungere livelli di potenza tali da far funzionare l'altoparlante in modo soddisfacente.
La differenza riguarda soltanto i livelli di potenza e non il principio di funzionamento,che consiste nell'estrarre il segnale audio dalla sequenza temporale di impulsi sinusoidali della stessa polarità, la cui ampiezza riproduce l'andamento nel tempo del segnale vocale o musicale trasmesso. Pertanto è errata la spiegazione riportata nei libri cui si fa riferimento, in quanto gli impulsi del segnale AM raddrizzato non si sommano tra loro, ma si susseguono nel tempo riproducendo il segnale modulante !
Inoltre, se non si eliminasse con il raddrizzatore la parte negativa (o in alternativa quella positiva) del segnale modulato in ampiezza, sarebbe inutilizzabile la relativa corrente alternata ad alta frequenza, in quanto le cuffie non emetterebbero alcun suono.
Per quanto riguarda la modulazione di frequenza (FM - frequency modulation), essa fu inventata dallo statunitense Howard Armstrong nel 1933.
L'utilizzo della FM nelle radiodiffusioni rai risale al 1948 e si sviluppa su vasta scala a partire dai primi anni '50, mentre negli anni '70 si ebbe la liberalizzazione delle emittenti FM private.
1) L'adesione dell'inchiostro su un foglio di carta e quella della polvere del miscuglio di grafite ed argilla di una matita, si spiegano considerando unicamente le forze elettriche attrattive che si manifestano su scala nanometrica (1 nanometro = 1 miliardesimo di metro = 1 milionesimo di millimetro) tra le macromolecole di cellulosa che costituiscono la carta e , rispettivamente, le molecole di pigmento disperse nel solvente dell'inchiostro e gli atomi di carbonio ceduti dai piani di grafene (anelli esagonali contigui di atomi di carbonio) che costituiscono la grafite.
Nel caso dell'inchiostro si verifica l'imbibizione delle fibre cellulosiche della carta con il solvente dell'inchiostro. Infatti, poichè la carta è un materiale poroso caratterizzato da una struttura di tipo microcapillare e poichè le forze elettriche attrattive che si manifestano tra le macromolecole di cellulosa e quelle del solvente, superano le forze elettriche attrattive di coesione (forze intermolecolari di Van der Waals) che agiscono tra le molecole del solvente, questo risale nei microcapillari fino ad essere assorbito. Nel contempo le molecole di pigmento disperse nel solvente vengono convogliate da questo aderendo stabilmente,sempre sotto l'azione di forze elettriche, alle pareti dei microcapillari.
Per quanto riguarda la matita, bisogna considerare che il materiale che la costituisce si ottiene partendo da un miscuglio di argilla e polvere di grafite,in percentuali dipendenti dalla durezza desiderata. Si ottiene così un materiale che tende a sfaldarsi facilmente, per sfregamento, in fogli di grafene, cedendo atomi di carbonio che si legano mediante forze elettriche attrattive alle macromolecole di cellulosa.
2) Per quanto riguarda gli adesivi, i meccanismi di azione sono essenzialmente chimici. Si tratta generalmente di sostanze organiche (monomeri) che durante l'applicazione alle superfici da incollare si polimerizzano, formando lunghe catene di monomeri che si legano stabilmente tra di loro e con le molecole dei materiali con cui vengono a contatto.
Si possono citare in particolare le resine cianoacriliche e le resine epossidiche, che sono potenti adesivi di tipo reattivo la cui azione si basa appunto
sulla polimerizzazione di monomeri. In particolare, le resine epossidiche, che presentano la caratteristica di essere termostabili, vengono di solito
applicate mescolando al momento dell'uso due composti base che si legano fortemente ed in breve tempo ai materiali da incollare in base ad una reazione di polimerizzazione.
L'effetto depolarizzante della rotazione di Faraday su un'onda elettromagnetica polarizzata linearmente e propagantesi in un plasma in presenza di un campo magnetico di induzione B parallelo alla direzione di propagazione, si spiega considerando che un'onda piana polarizzata linearmente può essere rappresentata dalla sovrapposizione di due onde polarizzate circolarmente, con i vettori elettrici e magnetici rotanti in versi opposti.
In particolare, se la direzione di propagazione coincide con l'asse z, i vettori elettrici Ex ed Ey ruotano descrivendo due eliche, una destrorsa e l'altra sinistrorsa con velocità angolare w pari alla pulsazione dell'onda polarizzata linearmente.
Tenendo presente inoltre che gli elettroni del plasma, per effetto della forza di Lorentz, descrivono moti circolari uniformi con velocità angolare
pari alla pulsazione di risonanza ciclotronica caratteristica del campo B, wc= eB/m, in piani perpendicolari al vettore B, si deduce che, mentre il campo elettrico rotante di una delle due onde polarizzate circolarmente ruota rispetto agli elettroni con velocità angolare relativa pari a w - wc, l'altro vettore elettrico ruota con velocità angolare relativa w + wc. L'esistenza di queste due pulsazioni relative implica che i due vettori elettrici, rotanti in versi opposti, se per z=0 sono in fase in una data posizione angolare iniziale fo,man mano che cresce la distanza di propagazione risultino sempre più sfasati rispetto agli elettroni del plasma rotanti nel campo magnetico,e che le loro rotazioni di fase siano sempre crescenti e con segni opposti. Di conseguenza, poichè al crescere della distanza di propagazione, la posizione angolare per la quale i due vettori rotanti passano in fase tende continuamente a variare, un osservatore a distanza riceve una successione di onde polarizzate linearmente i cui piani di polarizzazione ruotano continuamente, il che determina la depolarizzazione dell'onda.
La formula che descrive la rotazione di Faraday è la seguente: Df (in radianti) = [e3/(2eom2c w2] ∫n(z)B(z)dz, dove le funzioni n(z) e B(z)
descrivono rispettivamente l'andamento della densità elettronica nel plasma e quello del campo magnetico al variare di z.
Dimostrazione
Equazione del moto di un elettrone in un campo elettromagnetico: m dV/dt = - e(E + V x B),
con B (0,0,B), E (Ex, Ey,0), dove Ex = Exmax exp (-j wt) ed Ey = Exmax exp (-j wt).
Se x = Xmax exp (-j wt) e y = Ymax exp (-j wt),proiettando l'equazione del moto sugli assi x e y , si ha:
m dVx/dt = -e(Ex + VyB);
m dVy/dt = -e(Ey - VxB);
Vx = dx/dt = -jwXmax exp (-j wt)= -jwx;
Vy = dy/dt = -jwYmax exp (-j wt)= -jwy;
dVx/dt = -w2 Xmax exp (-j wt) = -w2x;
dVy/dt = -w2 Ymax exp (-j wt) = -w2y.
-mw2x = - e (Ex -jwyB);
-mw2y = - e (Ey -jwxB);
mw2x = e (Ex -jwyB);
mw2y = e (Ey -jwxB).
Definizioni: E+ = Ex + jEy; E- = Ex - jEy; s+ = x + jy; s- = x - jy;
mw2x + jmw2y = e(Ex -jwyB) +
je(Ey +jwBx) = e(Ex + jEy) -ewB(x + jy) = eE+ - ewBs+;
mw2x - jmw2y= e(Ex -jwyB) -
je(Ey +jwBx) = e(Ex - jEy) + ewB(x - jy) = eE- - ewBs-;
mw2s+ = e E+ - ewBs+;
mw2s- = e E- + ewBs-;
s+ = eE+/ [(mw2 + mwwc)];
s- = eE+/ [(mw2 - mwwc)].
Tenendo presente che eB=mwc), si ottengono le espressioni vettoriali dello spostamento di un elettrone:
s+ = eE+/[mw(w + wc)];
s- = eE-/[mw(w - wc)].
Calcolo del vettore intensità di polarizzazione P e della costante dielettrica e per entrambi gli stati di polarizzazione circolare (+ sinistrorso, cioè antiorario per un osservatore che riceva l'onda, - destrorso, cioè orario) :
Vettore intensità di polarizzazione P+ = -nes+; P- =-nes-.
P+= eo (e - 1) E+ = - ne2 eE+/[mw(w +wc)];
P-= eo (e - 1) E-= - ne2 eE-/[mw(w - wc)];
e+ = 1 - ne2/[eomw(w + wc];
e- = 1 - ne2/[eomw(w - wc];
velocità di fase dell'onda elettromagnetica sinistrorsa: Vf+ = c/n+ = c/√e+;
velocità di fase dell'onda elettromagnetica destrorsa: Vf- = c/n- = c/√e-;
vettore di propagazione dell'onda elettromagnetica sinistrorsa: K+ = 2p/l+ = 2pf/Vf+ =
w√e+/c;
vettore di propagazione dell'onda elettromagnetica destrorsa: K- = 2p/l- = 2pf/Vf- =
w√e-/c.
Se la pulsazione dell'onda w è molto maggiore della pulsazione ciclotronica wc e della pulsazione di plasma wp = √[ne2/(eom)], K+ e K-
si possono approssimare, sviluppando in serie, come K + DK e K -DK,
dove K = w[1 - (1/2)wp2/w2]/c
e DK = (1/2)(wp2/w2)wc/c.
L'onda elettrica, polarizzata linearmente per z=0, si può pertanto ottenere sommando all'onda elettrica sinistrorsa Emax cos (K+z - wt) = Emax cos (Kz + DKz- wt) l'onda elettrica destrorsa Emax cos (Kz - DKz - wt) , ottenendo così la posizione angolare, continuamente crescente con z, del piano di polarizzazione:
f = arctang (Ey/Ex) = DKz = wp 2 wcz/(2 w2c) = e3nBz/(2eom2c w2) .
Riferimenti web:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node101.html
http://space.mit.edu/home/jck/mwa_files/mwa_faradayrotation.htm
Partendo dalla relazione Vf = w/K tra la pulsazione w = 2pf ed il vettore di propagazione (vettore d'onda) K = 2p/l, si ottiene
la velocità di gruppo Vg = d w/dK.
Come si arriva a definire la velocità di gruppo ?
Consideriamo la sovrapposizione di due onde elettromagnetiche con la stessa ampiezza Ep e pulsazioni quasi uguali wo e wo + dw, i cui vettori d'onda siano Ko e Ko + dK:
E1(x,t) = Ep sen(Ko x - wo t);
E2(x,t) =Ep sen[(Ko + dK)x - (wo + dw)t];
E(x,t) = E1(x,t) + E2(x,t) = Ep sen (Ko x - wo t) + Ep sen [(Ko + dK) x - (wo + dw) t] = 2Ep cos (x dK/2 - t dwo/2) sen [(2Ko + dK)x/2 - (2wo + dw)t/2].
Trascurando dK e dw si ha:
E(x,t) = 2Ep cos (x dK/2 - t dw/2) sen (Ko x - wo t).
L'onda ottenuta ha un'ampiezza variabile secondo il cos (x dK/2 - t dw/2) i cui zeri si verificano per xdK - t dw = np/2, cioè per x = np/dK - tdw/dK.
Questi zeri si spostano con una velocità dx/dt = dw/dK , che è appunto la velocità di gruppo Vg.
In particolare, se n(w) = c /Vf(w) è l'indice di rifrazione del mezzo in cui si propaga il pacchetto d'onde, si ha: 1/Vg = [dK/d w]o = n(wo)/c + (wo/c) [d n(w)/dw]o, dove il pedice o sta ad indicare che l'indice di rifrazione e la sua derivata si riferiscono alla pulsazione centrale wo del pacchetto d'onde.
Moltiplicando per c e risolvendo rispetto a Vg si ha: Vg = c/[ n(wo) + wo d n(wo)/dw] = [c/n(wo)]/[ 1 + (wo/n(wo))d n(wo)/dw]= Vf / [ 1 + (wo/n(wo))d n(wo)/dw].
Dall'espressione di Vg si deduce che, se il mezzo dispersivo è normale, cioè se il suo indice di rifrazione aumenta con w, la derivata rispetto a w è positiva e la velocità di gruppo è minore della velocità di fase.
Se invece il mezzo dispersivo non è normale, cioè se il suo indice di rifrazione diminuisce con w, la derivata di n rispetto a
w è negativa, il che comporta che la velocità di gruppo sia maggiore di quella di fase.
Nel primo caso, che si verifica quando un pacchetto d'onde si propaga nella maggior parte dei mezzi dispersivi (normali), la velocità di gruppo coincide con la velocità di propagazione dell'energia elettromagnetica associata al pacchetto e quindi dell'informazione ad esso associata, mentre la velocità di fase è maggiore e può anche superare c, il che non implica affatto la violazione del principio di relatività speciale che afferma che nessuna informazione può propagarsi con velocità maggiore di c.
Le singole onde elettromagnetiche che costituiscono il pacchetto ed hanno pulsazione molto vicina a wo (pacchetto d'onde quasi monocromatico), si propagano attraverso il pacchetto con la velocità di fase, mentre il profilo del pacchetto si propaga con la velocità di gruppo.
Per spiegare meglio questo concetto possiamo ricorrere ad un'analogia.
Se si considera il flusso veicolare su una strada a scorrimento veloce lunga 100 Km e con una velocità media Vo = 100 Km/h e si suppone che si verifichi un rallentamento massimo DV= -7 Km/h in un dato punto a distanza x = 75 Km dal casello d'ingresso e per un tratto Dx = 2 Km , il cui punto medio sia in x , ci saranno auto che si muoveranno a velocità comprese tra (100-7)Km/h = 93 Km/h e 100 Km/h dando origine ad un “gruppo” di auto in fase di rallentamento che a poco a poco si propagherà verso il casello. Se la velocità di “gruppo” è Vg = DV/Dx = -7/2 = -3,5 Km/(h° Km), l'onda di decelerazione si propagherà verso il casello fino a determinare un blocco del traffico ad una distanza x' tale che sia Vo + Vg(x - x') = 0. Pertanto il blocco del traffico si verificherà nel punto x' = x + Vo/ Vg = 75 + 100/(-3,5) = (75 - 28,57) Km , cioè a 46,43 Km dal casello. Le auto si muovono pertanto in “gruppo” con una velocità media di (100+93)/2 = 96,5 Km/h, molto maggiore della velocità di -3,5 Km/h/(h° Km) con cui l'onda di decelerazione, che rappresenta l'informazione, si propaga verso il casello. In questo caso si tratta di un fenomeno di “dispersione” normale, in quanto la velocità delle auto diminuisce al diminuire della distanza dal casello. Il contrario si verificherebbe nel caso di un aumento di velocità. L'onda di accelerazione si propagherebbe verso il casello, determinando un aumento del flusso veicolare al diminuire della distanza dal casello (caso analogo a quello della “dispersione” anomala).
Il campo elettrico totale a sinistra dell'interfaccia (nel vuoto) è Etot = Einc - Erif, in quanto il campo riflesso è sfasato di 180° rispetto a quello incidente.
Il campo magnetico totale a sinistra dell'interfaccia è Htot = Hinc + Hrif = Einc/Zo + Erif/Zo.
Pertanto,tenendo conto delle condizioni di continuità dei campi E e H attraverso l'interfaccia (Etot = Etr e Htot = Htr), dove Etr e Htr indicano i campi a destra dell'interfaccia, si ottiene il sistema:
Einc - Erif = Etr; Einc/Zo + Erif/Zo = Etr/Z, dove Z = Zo/√er.
2Einc = Etr(1 + √er) ; Etr/Einc = T (coefficiente di trasmissione) = 2 / (1 + √er).
2Erif = Etr (√er -1) = 2Einc(√er-1)/ (1 + √er); R (coefficiente di riflessione) = Erif/Einc = (√er-1)/ (√er +1).
Il campo totale a sinistra dell'interfaccia è pertanto: Etot = Einc - Erif = Einc (1 - R), mentre quello trasmesso è Etr = T Einc.
Per quanto concerne la potenza Ptr trasmessa attraverso l'interfaccia,si ha: Ptr = Pinc - Prif = EincHinc/2 - Erif Hrif/2 = [Einc2-
Erif2]/(2Zo) = Einc2[1 - R2]/(2Zo) = Pinc[1 - R2].
In alternativa Ptr può essere calcolata considerando i campi totali a sinistra dell'interfaccia:
Ptr = (1/2) (Etot Htot) = (Einc - Erif)(Hinc + Hrif)/2= (Einc - Erif)(Einc + Erif)/(2Zo) = [Einc2-
Erif2]/(2Zo).
Per quanto concerne le onde stazionarie elettriche e magnetiche a sinistra dell'interfaccia,si consideri che si comportano analogamente a quelle che si formano in una linea di trasmissione con un piccolo disadattamento rispetto al carico. I campi elettrici e magnetici riflessi Erif e Hrif (regressivi) si sommano ai campi elettrici e magnetici “residui” (Einc - Etr) e (Hinc - Htr) generando ventri e nodi di ampiezza. Ovviamente, nel caso limite di una superficie metallica (totalmente riflettente), i campi trasmessi si annullano ed i campi riflessi assumono la stessa ampiezza di quelli incidenti (R = 1 e T=0).
Nel caso in esame, essendo Eo = 1 V ed er = 9, si ha: R = (√er-1)/ (√er +1) = (3-1)/(3+1) = 0,5.
T = 2 / (1 + √er) = 2/ (1 + 3) = 0,5. Questo significa che l'ampiezza del campo incidente per metà contribuisce
all'onda trasmessa e per metà all'onda riflessa: Einc = 1 V; Erif = 0,5 V; Etr = 0,5 V ; Ptr = (1 - 0,25) Pinc = 0,75 Pinc, Prif = 0,25 Pinc.
L'acqua è un liquido con proprietà fisiche sui generis che dipendono sostanzialmente dal fatto che i due atomi di idrogeno, che sono molto meno voluminosi di quello di ossigeno al quale sono vincolati mediante legami covalenti (con condivisione di due elettroni tra l'atomo di idrogeno e quello di ossigeno), formano con l'atomo di ossigeno una “V” con un angolo di 105° ed hanno una spiccata tendenza a formare “legami idrogeno” con le altre molecole d'acqua. I legami idrogeno sono di fondamentale importanza, in quanto l'unico elettrone dell'atomo di idrogeno, oltre ad essere condiviso con l'atomo di ossigeno della molecola di cui fa parte, ha una notevole probabilità, in base alle leggi della meccanica quantistica, di trovarsi spostato prevalentemente verso l'atomo di ossigeno, lasciando così un eccesso di carica positiva protonica localizzata nella parte opposta a quella in cui si trova l'atomo di ossigeno. E' così possibile per entrambi gli atomi di idrogeno attrarre atomi di ossigeno di molecole vicine formando un anello di forma esagonale, che è responsabile della formazione delle “stelline” esagonali presenti nei fiocchi di neve e nelle varie forme cristalline del ghiaccio.
La forma esagonale è l'unica in grado di garantire lo stato di energia minima richiesto per la stabilità della struttura cristallina, in base alle forze coulombiane ed alle forze di scambio quantistiche associate agli spin elettronici. I singoli anelli esagonali tendono quindi ad avvicinarsi occupando, in condizioni di equilibrio, il minimo spazio possibile. Questi effetti quantistici si verificano appunto nella fase di brinamento, quando la temperatura è inferiore a 0 °C ed il vapore acqueo sublima passando allo stato solido in aria calma e con il cielo sereno, condizioni che favoriscono l'abbassamento della temperatura durante l' irraggiamento notturno del calore immagazzinato dal suolo durante il giorno.
Per ottenere le componenti del vettore di Poynting S = E x H ,basta considerare i complementi algebrici degli elementi x, y, z nella matrice
| x y z |
| Ex Ey Ez |
| Hx Hy Hz |
S = (EyHz - EzHy) x + (EzHx - ExHz) y + (ExHy - EyHx)z.
In particolare,se si considera la propagazione di un'onda elettromagnetica piana lungo l'asse z, si ha: Ez = 0, Hz = 0, S = (ExHy - EyHx) z.
In alternativa, usando il metodo simbolico, definiti i vettori E = (x Ex, yEy) e H = (x Hx, yHy),
si possono considerare i campi complessi E = Ey + j Ex e H = -Hx + j Hy,
insieme al campo complesso coniugato H* = -Hx - j Hy, calcolando S come parte reale del prodotto dei numeri complessi E e H*:
S = Re (EH*) z = Re [(Ey + jEx)(-Hx - jHy)] z = Re [-EyHx - jExHx - jEyHy+ ExHy]z = (ExHy - EyHx)z .
L'intensità media dell'onda elettromagnetica (valor medio in un periodo della potenza istantanea per unità di superficie) è pertanto I = (1/2) (ExHy - EyHx).
Riferimenti web su campi elettromagnetici:
http://www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/ewa/
